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第二 MCAT中常用IRT模型（第1页）

第二节MCAT中常用IRT模型

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一、二级评分的多维项目反应模型

Reckase和Mley（1982）在回顾以往大量MIRT模型的基础上，提出了当前最实用的三参数Logistic多维项目反应模型。

该模型的项目反应函数为

其中

θi=（θi1，θi2，…，θip）：被试i的p维能力向量；

aj=（aj1，aj2，…，ajp）T：项目j的p维区分度向量；

cj：项目猜测度参数；

dj：与MIRT难度相关的参数，它不同于单维IRT的难度参数bj，但两者间存在某种函数转换式。

因此对于测验为p维的MIRT模型而言，每个被试有p维能力，每个项目有p维区分度，但每个项目只有一个猜测度参数cj和一个与项目难度相关的参数dj。

为了与单维Logistic模型相对应，学者们（Reckase，2009；Zhang＆Stone，2008）提出了多维区分度指标MDISC（MultidimensionalDisIRT的项目整体区分度，并根据MDISC指标将MIRT中的dj参数转换为单维IRT的难度参数bj，具体计算公式如下：

MDISCj和bj分别代表基于Logistic多维模型的项目整体区分度参数和难度参数，它们与Logistic单维模型的区分度和难度参数意义一致。

MDISCj越大，说明项目j对多个维度的整体区分度越高，反之越低；bj越大，代表项目越难，反之越容易。

公式（5.2.1）中，若令cj=0，则三参数Logistic多维模型简化为二参数Logistic多维模型，参见公式（5.2.4）；若令cj=0和aj=（1，1，…，1），则公式（5.2.1）简化为单参数Logistic多维模型或多维Rasch模型，参见公式（5.2.5）。

二、多级评分的多维项目反应模型

（一）多维等级反应模型

多维等级反应模型是在单维等级反应模型（GRM）的基础上拓展而来的。

与单维一样，多维等级反应模型假设被试成功完成测验任务需要多个步骤（Steps），且被试正确完成第k步则需以正确完成前K-1步为基础。

若记P*jt为被试得T分及T分以上的概率即累积类别反应函数（CumulativeCategoryRespoions），且记Pjt为被试恰得T分的概率即类别反应函数（CategoryRespoions），则

其中

并令P*j0=1和P*j，mfj+1=0（其中mfj指项目j的满分值），即被试得0分及0分以上的概率为1，被试得mfj+1分的概率为0，则满足∑mfjt=0P（Uij=t|θi）=1。

（二）多维拓展分部评分模型

多维拓展分部评分模型（MultidimensionalGeial）是由单维拓展分部评分模型演化而来，MGPCM的数学表达式为

其中βju表示得u分的阈值参数（ThresholdParameter），并且限定βj0=0，其他符号与前面相同。

Yao和Schwarz（2006）以公式（5.2.8）为基础，进一步拓展出了MGPCM的区分度与难度参数：